Question

1．如圖，△ABD、△AEC都是等邊三角形，BE和DC相交于點(diǎn)M．
（1）求證：BE=DC．
（2）連接AM，試證明MA平分∠DME．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，然后可證明∠DAC=∠BAE，接下來(lái)證明△DAC≌△BAE可得到DC=BE；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC，AG⊥BE，垂足分別為F、G．首先證明△DAF≌△BAG，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AG，最后依據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．

解答 解：（1）∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°．
∴∠DAC=∠BAE．
∵在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE．
∴DC=BE．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DC，AG⊥BE，垂足分別為F、G．

∵AF⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DFA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAF和△BAG中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠ABE}\\{∠DFA=∠BGA}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△BAG．
∴AF=AG．
又∵AF⊥DC，AG⊥BE，
∴MA為∠DME的角平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，掌握本題輔助線的做法是解題的關(guān)鍵．