Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．動線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始）沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動停止．過點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F（當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合），連接DF，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；

（2）在這個(gè)運(yùn)動過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動過程中，MN所掃過的面積．

 

Answer 1

（1）BE=（t+4）cm；EF=（t+4）cm；（2）當(dāng)t=0、或秒時(shí)，△DEF為等腰三角形；（3）整個(gè)運(yùn)動過程中，MN所掃過的面積為cm2．

【解析】

試題分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得EF的長；

（2）分三種情況討論：①當(dāng)DF=EF時(shí)，②當(dāng)DE=EF時(shí)，③當(dāng)DE=DF時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得答案；

（3）首先設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，可證得點(diǎn)B，N，P共線，即可得點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動，MN也隨之平移，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形，然后求得?PQST的面積即為MN所掃過的面積．

試題解析：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，

∴BE=BD+DE=（t+4）cm，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BCA，

∴EF：CA=BE：BC，

即EF：10=（t+4）：16，

解得：EF=（t+4）（cm）；

（2）分三種情況討論：

①如圖1，∵當(dāng)DF=EF時(shí)，

∴∠EDF=∠DEF，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥AC，

∴∠DEF=∠C，

∴∠EDF=∠B，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，

∴t=0；

②如圖2，當(dāng)DE=EF時(shí)，

則4=（t+4），

解得：t=；

③如圖3，∵當(dāng)DE=DF時(shí)，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，

∴△DEF∽△ABC．

∴，

即，

解得：t=；

綜上所述，當(dāng)t=0、或秒時(shí)，△DEF為等腰三角形．

（3）如圖4，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，

∵EF∥AC，

∴△FBE∽△ABC．

∴，

∴．

又∵∠BEN=∠C，

∴△NBE∽△PBC，

∴∠NBE=∠PBC．

∴點(diǎn)B，N，P共線，

∴點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動，MN也隨之平移．

如圖5，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形．

∵M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，

∴MN∥DE，且ST=MN=DE=2．

分別過點(diǎn)T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點(diǎn)R，則四邊形TKLR是矩形，

∵當(dāng)t=0時(shí)，EF=（0+4）=，TK=EFsin∠DEF=••=；

當(dāng)t=12時(shí)，EF=AC=10，PL=AC•sin∠C=•10•=3．

∴PR=PL﹣RL=PL﹣TK=3﹣=．

∴S平行四邊形PQST=ST•PR=2×=．

∴整個(gè)運(yùn)動過程中，MN所掃過的面積為cm2．

考點(diǎn)：相似形綜合題.