Question

17．（1）如圖①，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，AB∥CD，∠D=40°，∠B=30°，求∠E的大��；
（2）如圖②，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
當(dāng)∠B：∠D：∠E=2：4：x時，x=3．
（3）如圖③，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，則∠E與∠D、∠B之間是否仍存在某種等量關(guān)系？若存在，請直接寫出你得結(jié)論，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，則可得∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），繼而求得答案；
（2）由三角形內(nèi)角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分線的性質(zhì)，可得∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，則可得∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），繼而求得答案；
（3）首先延長BC交AD于點F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．

解答 解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），
∵∠ADC=40°，∠ABC=30°，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$×（40°+30°）=35°；

（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），
∵∠ADC=m°，∠ABC=n°，
∴∠AEC=$\frac{m°+n°}{2}$；
∵∠E=$\frac{1}{2}$（∠D+∠B），∠B：∠D：∠E=2：4：x，
∴x=$\frac{1}{2}$（2+4）=3；

（3）延長BC交AD于點F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠EAD=∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-$\frac{1}{2}$∠BCD=∠B+∠BAE-$\frac{1}{2}$（∠B+∠BAD+∠D）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠D），
即∠AEC=$\frac{∠ABC-∠ADC}{2}$．

點評 此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義掌握角平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問題的關(guān)鍵．