Question

7．知識(shí)遷移：若a≥0，b≥0時(shí)，因?yàn)椋?\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，所以a+b≥2$\sqrt{ab}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立．由上述結(jié)論可知，若a≥0，b≥0且a=b時(shí)，代數(shù)式a+b的最小值是2$\sqrt{ab}$．
直接應(yīng)用：已知函數(shù)y₁=2x（x＞0）與函數(shù)y₂=$\frac{2}{x}$（x＞0），則當(dāng)x=1時(shí)，y₁+y₂取得最小值為4．
實(shí)際應(yīng)用：某種小汽車(chē)在高速上行駛，若該小汽車(chē)以每小時(shí)x公里的速度勻速行駛，每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升，1小時(shí)的耗油量為y升，求該小汽車(chē)為多少時(shí)，每小時(shí)耗油量最少，并求出最小值．
變形應(yīng)用：已知函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 直接應(yīng)用：根據(jù)a+b≥2$\sqrt{ab}$得到y(tǒng)₁+y₂=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{2}{x}}$，于是得到2x=$\frac{2}{x}$時(shí)，y₁+y₂的最小值為4，然后求出x的值；
實(shí)際應(yīng)用：先得到每小時(shí)耗油量（$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$）升，利用題中的不等式得到$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{18}•\frac{450}{x}}$，于是得到當(dāng)$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$時(shí)，$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$的最小值為10，然后求出對(duì)應(yīng)x的值；
變形應(yīng)用：先計(jì)算出$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=x+1+$\frac{4}{x+1}$，利用題中的不等式得到x+1+$\frac{4}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$，于是得到x+1=$\frac{4}{x+1}$時(shí)，x+1+$\frac{4}{x+1}$的最小值為4，然后解方程x+1=$\frac{4}{x+1}$求出滿足條件的x的值．

解答 解：直接應(yīng)用：y₁+y₂=2x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{2}{x}}$，即當(dāng)2x=$\frac{2}{x}$時(shí)，y₁+y₂的最小值為4，此時(shí)x=1；
故答案為1，4；
實(shí)際應(yīng)用：每小時(shí)耗油量為x（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$，而$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{18}•\frac{450}{x}}$，所以當(dāng)$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$時(shí)，$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$的最小值為10，此時(shí)x=90，
所以該小汽車(chē)為每小時(shí)90公理時(shí)，每小時(shí)耗油量最少，最小值為10升；
變形應(yīng)用：$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}$=x+1+$\frac{4}{x+1}$，而x+1+$\frac{4}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$，所以x+1=$\frac{4}{x+1}$時(shí)，x+1+$\frac{4}{x+1}$的最小值為4，此時(shí)x=1，
所以當(dāng)x=1時(shí)，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了配方法的應(yīng)用：利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值，關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；記住若a≥0，b≥0時(shí)，a+b≥2$\sqrt{ab}$．當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立．