Question

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)CA到P，延長(zhǎng)AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 先作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，證出BE=AF，OE=OF，可證Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．

解答 證明：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，

∵O是△ABC的外心，
∴OE=OF，OB=OA，
由勾股定理得：BE²=OB²-OE²，AF²=OA²-OF²，
∴BE=AF，
∵AP=BQ，
∴PF=QE，
∵OE⊥AB，OF⊥AC 
∴∠OFP=∠OEQ=90°，
在Rt△OPF和Rt△OQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=QE}\\{OF=OE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPF≌Rt△OQE，
∴∠P=∠Q，
∴O、A、P、Q四點(diǎn)共圓，即：△ABC的外心O與點(diǎn)A、P、Q四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四點(diǎn)共圓，涉及全等直角三角形的判定與性質(zhì)及圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線得出Rt△OPF≌Rt△OQE．