Question

10．如圖：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置①，可得到點(diǎn)P₁，此時(shí)AP₁=2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P₁順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P₂，此時(shí)AP₂=2+$\sqrt{3}$；將位置②的三角形繞點(diǎn)P₂順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P₃，可得到點(diǎn)P₃，此時(shí)AP₃=3+$\sqrt{3}$；…，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到得到點(diǎn)P₂₀₁₅為止，則AP₂₀₁₅=（　�。�

• A． 2015+672$\sqrt{3}$
• B． 2013+671$\sqrt{3}$
• C． 2013+672$\sqrt{3}$
• D． 2015+671$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出△ABC三邊的長(zhǎng)，再依次計(jì)算AP₁、AP₂、AP₃、…，發(fā)現(xiàn)每旋轉(zhuǎn)三次時(shí)，A到P的距離為三角形的周長(zhǎng)，增加一次，長(zhǎng)度增加2，增加2次時(shí)，長(zhǎng)度增加2+$\sqrt{3}$，增加3時(shí)，長(zhǎng)度增加周長(zhǎng)3+$\sqrt{3}$；因此要計(jì)算AP₂₀₁₅=的長(zhǎng)度，要先計(jì)算2015除以3，商是多少，余數(shù)是多少，從而得出結(jié)果．

解答 解：在Rt△ABC中，
∵∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，BC=$\sqrt{3}$，
由旋轉(zhuǎn)得：AP₁=AB=2，
AP₂=AP₁+P₁P₂=2+$\sqrt{3}$，
AP₃=AP₁+P₁P₂+P₂P₃=3+$\sqrt{3}$，
…
∵2015÷3=671…2，
∴AP₂₀₁₅=671（3+$\sqrt{3}$）+2+$\sqrt{3}$=2015+672$\sqrt{3}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題是旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題，也是圖形類規(guī)律問(wèn)題；考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，此類題的解題思路為：①先表示出直角三角形各邊長(zhǎng)；②因?yàn)橐��?jì)算AP₂₀₁₅的長(zhǎng)，所以從AP₁、AP₂、AP₃、依次計(jì)算，并總結(jié)規(guī)律，如果看不出可以多計(jì)算幾個(gè)長(zhǎng)度．