Question

3．已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D
（Ⅰ）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）連接CP，△DCP是什么特殊形狀的三角形？并加以說(shuō)明；
（Ⅲ）點(diǎn)Q是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，且滿足∠QEO=∠BEO，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，解方程組即可解決問(wèn)題．
（Ⅱ）結(jié)論：△DCP是等腰直角三角形．求出C、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（Ⅲ）如圖，連接BE、DE．只要證明△EOB≌△EOD，得到∠DEO=∠BEO，所以直線DE與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．求出直線DE的解析式，解方程組即可．

解答 解：（Ⅰ）把A（-3，6），B（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}-3b+c=6}\\{\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．

（Ⅱ）結(jié)論：△DCP是等腰直角三角形．
理由：對(duì)于拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=0，解得x=-1或3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3，0），
令x=0則y=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（0，-$\frac{3}{2}$），
∵y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，
∴頂點(diǎn)P坐標(biāo)（1，-2），點(diǎn)D坐標(biāo)（1，0），
∴CD=PD=2，
∵∠PDC=90°，
∴△PDC是等腰直角三角形．

（Ⅲ）如圖，連接BE、DE．

∵B（-1，0），D（1，0），E（0，-$\frac{3}{2}$），
∴OB=OD，OE=OE，∠BOE=∠DOE，
∴△EOB≌△EOD，
∴∠DEO=∠BEO，
∴直線DE與拋物線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q．
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（5，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用解方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以中考常考題型．