Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結DE并延長交BC的延長線于點F．
（1）求證：∠BDF=∠F；
（2）如果CF=1，sinA=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，連接OE，根據(jù)切線的性質知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根據(jù)OD=OE，可知∠ODE=∠OED，從而可得∠BDE=∠F；
（2）根據(jù)sinA=$\frac{3}{5}$，得出cos∠B=cos∠AOE=$\frac{3}{5}$，進一步設出未知數(shù)，利用銳角三角函數(shù)的意義可將⊙O的半徑求出．

解答 （1）證明：如圖，連結OE．

∵AC切⊙O于點E，
∴∠AEO=90°．
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠AEO．
∴OE∥BC．
∴∠OED=∠BFD．
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE．
∴∠BDF=∠F．
（2）解：∵OE∥BC，
∴∠AOE=∠B．
∵sin∠A=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠B=cos∠AOE=$\frac{3}{5}$，
設OE=3x，則OA=5x，OB=3x．
∴BD=BF=6x，AB=8x．
∵CF=1，
∴BC=6x-1．
∵cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6x-1}{8x}$=$\frac{3}{5}$．
解得x=$\frac{5}{6}$．
∴OB=3x=$\frac{5}{2}$．
∴⊙O的半徑是$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了圓的切線性質，銳角三角函數(shù)的意義，結合幾何圖形，靈活作出輔助線解決問題．