Question

6．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點，連接PG、PC．

（1）如圖1，當(dāng)點G在BC邊上時，若AB=10，BF=4，求PG的長；
（2）如圖2，當(dāng)點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明．
（3）如圖3，當(dāng)點F在CB的延長線上時，（2）問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）延長GP交DC于點E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=$\sqrt{3}$PC．
（2）延長GP交DA于點E，連接EC，GC，先證明△DPE≌△FPG，再證得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=$\sqrt{3}$PC．
（3）延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，作FE∥DC，先證△GFP≌△HDP，再證得△HDC≌△GBC，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=$\sqrt{3}$PC．

解答 （1）解：如圖1：

延長GP交DC于點E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∵△BGF是等邊三角形，
∴FG=BG，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，
∵AB=10，BF=4；
∴CG=6
∴PG=3$\sqrt{3}$
（2）如圖2，

證明：延長GP交DA于點E，連接EC，GC，
∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDP=∠GFP}\\{DP=FP}\\{∠DPE=∠FPG}\end{array}\right.$
∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=∠CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDE=∠CBE=60°}\\{DE=BG}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=$\frac{1}{2}$∠ECG=60°
∴PG=$\sqrt{3}$PC．
（3）猜想：PG=$\sqrt{3}$PC．
證明：如圖3，

延長GP到H，使PH=PG，連接CH，CG，DH，作FE∥DC
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，點A、B、G又在一條直線上，
∴∠GBC=120°，
∵△BFG是等邊三角形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．

點評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．