Question

3．如圖，P是矩形ABCD下方一點(diǎn)，將△PCD繞P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后恰好D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得到△PEA，連接EB．
（1）判斷△ABE形狀？并說(shuō)明理由；
（2）若AB=2，AD=3$\sqrt{3}$，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△PAD是等邊三角形，進(jìn)而得出∠PDC=∠PAE=30°，∠DAE=∠DAP-∠PAE=30°，∠BAE=60°，又CD=AB=EA，結(jié)論顯然；
（2）連接CE，則△CPE是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，算出EF、BF、CF，進(jìn)而算出CE，而PE=CE．

解答 解：（1）△ABE是等邊三角形，理由如下：
由題意可知∠APD=60°，PA=PD，
∴△PAD是等邊三角形，
∴∠DAP=∠PDA=60°，
∴∠PDC=∠PAE=30°，
∴∠DAE=∠DAP-∠PAE=30°，
∴∠PAB=30°，
即∠BAE=60°，
又∵CD=AB=EA，
∴△ABE是等邊三角形．
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接CE，
∵△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE=2，
∠EBA=60°，
∴∠EBC=30°，
在Rt△EBF中，EF=1，F(xiàn)B=$\sqrt{3}$，
∵AD=BC=$3\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CEF中，$CE=\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵∠CPE=60°，CP=PE，
∴△CPE是等邊三角形，PE=CE=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度中等．清楚旋轉(zhuǎn)的特征是解答的關(guān)鍵．