Question

14．如圖，將斜邊長(zhǎng)為4，∠A為30°角的Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A′C′B，弧$\widehat{AA′}$、$\widehat{CC′}$是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A、C的運(yùn)動(dòng)軌跡，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． 4π+2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{16}{3}$π-2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{16}{3}$π+2$\sqrt{3}$
• D． 4π

Answer 1

分析 根據(jù)扇形面積公式S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$求出扇形ABA′的面積和扇形CBC′的面積，根據(jù)圖形可得圖中陰影部分的面積=Rt△ABC+扇形ABA′的面積-扇形CBC′的面積計(jì)算即可．

解答 解：∵AB=4，∠A=30°，
∴BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴圖中陰影部分的面積
=Rt△ABC+扇形ABA′的面積-扇形CBC′的面積
=2$\sqrt{3}$×2÷2+$\frac{120×π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{120×π×{2}^{2}}{360}$
=2$\sqrt{3}$+$\frac{16}{3}$π-$\frac{4}{3}$π
=4π+2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軌跡、扇形面積的計(jì)算和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握扇形面積公式S=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$是解題的關(guān)鍵．