Question

3．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF
（1）求證：△EBF≌△DFC；
（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（3）①△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEFD是菱形．（無需證明）
②△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形．（無需證明）
③△ABC滿足AB=AC，∠BAC=150°時，四邊形AEFD是正方形．（無需證明）

Answer 1

分析 （1）由△ABE與△BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到△EBF與△DFC全等；
（2）利用（1）中全等三角形對應邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形；
（3）①當AE=AD時，ADFE是菱形；
②當∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度數(shù)，則可得ADFE是矩形；
③當ADFE是正方形時，∠EAD=90°，且AE=AD，聯(lián)立①②的結(jié)論即可．

解答 解：（1）∵△ABE、△BCF為等邊三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠CBA=∠FBE}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC為等邊三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DC}\\{∠FEB=∠CDF}\\{EB=FD}\end{array}\right.$．
∴△EBF≌△DFC（SAS），

（2）∵△EBF≌△DFC，
∴EB=DF，EF=DC．
∵△ACD和△ABE為等邊三角形，
∴AD=DC，AE=BE，
∴AD=EF，AE=DF
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）①若AB=AC，則平行四邊形AEFD是菱形；
此時AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEFD是菱形；
②若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；
由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD=90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；
③綜合①②的結(jié)論知：當△ABC是頂角∠BAC是150°的等腰三角形時，四邊形AEFD是正方形．
故答案是：①AB=AC；
②∠BAC=150°；
③AB=AC，∠BAC=150°．

點評 考查了平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，熟練掌握特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．