Question

9．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連接PA，AO，并延長AO交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若cos∠CAO=$\frac{4}{5}$，且OC=6，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB．先依據(jù)切線的性質證明∠PBO=90°，依據(jù)等腰三角形的性質可知∠OAB=∠OBA，由垂徑定理可證明OP為AB的垂直平分線，則PA=PB，故此可證明∠PAB=∠PBA，然后依據(jù)等式的性質可得到∠PAO=∠PBO=90°；
（2）設AC=4k，AO=5k，由勾股定理可知OC=3k，在Rt△OAC中，利用銳角三角函數(shù)的定義先求得OA的長，在Rt△APO中利用銳角三角函數(shù)的定義可求得PA的長，最后依據(jù)切線長定理可求得PB的長．

解答 解：（1）連接OB．

∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OP⊥AB，
∴AC=BC．
∴OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB．
∴∠PAB=∠PBA．
∴∠PAO=∠PBO．
∵PD為⊙O的切線，
∴∠OBP=90°．
∴∠PAO=90°．
∴PA是⊙O的切線．

（2）設AC=4k，AO=5k，由勾股定理可知OC=3k，
∴sin∠CAO=$\frac{3}{5}$，tan∠COA=$\frac{4}{3}$
∴$\frac{CO}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{6}{OA}$=$\frac{3}{5}$，解得OA=10．
∵tan∠POA=$\frac{AP}{AO}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AP}{10}$=$\frac{4}{3}$，解得AP=$\frac{40}{3}$．
∵PA和PB均為⊙的切線，
∴PB=PA=$\frac{40}{3}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質和判定、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理的應用，掌握切線的判定方法是解題的關鍵．