Question

3．已知“兩點之間，線段最短”，我們經(jīng)常利用它來解決兩線段和最小值問題．
（1）實踐運用
唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？畫出最短路徑并說明理由．
（2）拓展延伸
如圖2，點P，Q是△ABC的邊AB、AC上的兩個定點，請同學(xué)們在BC上找一點R，使得△PQR的周長最短（要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖過程保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析 （1）從點A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A′使得A′D=AD，連接A′B，與河岸相交y于C，則C點就是飲馬的地方，此時AC+BC的值最小．
（2）作P點關(guān)于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于R，此時△PQR的周長最短．

解答 解：（1）如圖1，從點A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A′使得A′D=AD，連接A′B，與河岸相交y于C，則C點就是飲馬的地方；

證明：如圖1，如果將軍在河邊的另外任意點C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，因為AC′+C′B＞A′B=AC+BC，所以在C點外任意一點飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)些；
（2）尺規(guī)作圖，如圖2：

點評 此題主要考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，關(guān)鍵是掌握在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．