Question

8．如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊BC上任意一點(diǎn)，以直線AD為對(duì)稱軸，作Rt△ABC的軸對(duì)稱圖形Rt△AEF，點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別為AB、BC、EF、EA的中點(diǎn)．
（1）求證：MN=PQ；
（2）如圖2，當(dāng)BD=$\frac{1}{3}$BC時(shí)，判斷點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)P、點(diǎn)Q圍成的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若BC=6，請(qǐng)你直接寫(xiě)出當(dāng)①BD=0；②BD=3；③BD=2；④BD=6時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)P、點(diǎn)Q圍成的圖形的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出MQ∥PN，再根據(jù)矩形的判定解答即可；
（3）直接寫(xiě)出圖形的形狀即可．

解答 （1）證明：∵△ABC與△AEF關(guān)于直線AD對(duì)稱，如圖1，

∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，
∵點(diǎn)M、N、P、Q分別是AB、BC、EF、EA的中點(diǎn)，
∴MN、PQ分別是△ABC和△AEF的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，PQ=$\frac{1}{2}$AF，
∴MN=PQ；
（2）解：當(dāng)BD=$\frac{1}{3}$BC時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)P、點(diǎn)Q圍成的四邊形是矩形．
連結(jié)BE、MN、PQ，如圖2，

∵點(diǎn)M、點(diǎn)Q是AB、AE的中點(diǎn)．
∴MQ∥BE且MQ=$\frac{1}{2}$BE，
∵點(diǎn)N是BC中點(diǎn)，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
又∵BD=$\frac{1}{3}$BC，
∴DN=BN-BD=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{6}$BC，
∴$\frac{DN}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于直線AD對(duì)稱，
∴BE⊥AD，
同理PN⊥AD，
∴BE∥PN，
∴△PDN∽△EDB，
∴$\frac{PN}{BE}$=$\frac{DN}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴MQ∥PN且MQ=PN，
∴四邊形MQNP是平行四邊形，
∵M(jìn)N=PQ，
∴四邊形MQNP是矩形．
（3）當(dāng)BD=0或3時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)P、點(diǎn)Q圍成等腰三角形；
當(dāng)BD=2或6時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N、點(diǎn)P、點(diǎn)Q圍成矩形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，同時(shí)利用矩形的判定解題．