Question

16．菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動點(diǎn)P在線段AC上從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動，過P作PE∥AD，交AB于點(diǎn)E，過P作PF∥AB，交AD于點(diǎn)F，四邊形QHCK與四邊形PEAF關(guān)于直線BD對稱．設(shè)菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S₁，AP=x：
（1）對角線AC的長為2$\sqrt{3}$；S_菱形ABCD=2$\sqrt{3}$；
（2）用含x的代數(shù)式表示S₁；
（3）設(shè)點(diǎn)P在移動過程中所得兩個四邊形PEAF與QHCK的重疊部分面積為S₂，當(dāng)S₂=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD時，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD=2，BO=DO，AC⊥BD，求出△ABD是等邊三角形，推出BD=AB=2，根據(jù)勾股定理求出AO，即可得出答案；
（2）①當(dāng)0≤x≤$\sqrt{3}$時，求出兩個菱形的面積，即可得出答案；②當(dāng)$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$時，S₁等于大菱形ABCD減去未被遮蓋的兩個小菱形，求出兩個小菱形的面積即可；
（3）當(dāng)$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$時，有重疊，列出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=2，BO=DO，AC⊥BD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=2，
∴OB=OD=1，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$BD×AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$；

（2）根據(jù)題設(shè)可知四邊形PEAF是菱形，有一個角是60°，菱形的較短對角線與邊長相等，
①當(dāng)0≤x≤$\sqrt{3}$時，如圖1，連接EF交AP于M，
∵AP=x，PE∥AD，PF∥AB，
∴AEPF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC，
∵PE∥AD，
∴∠EPA=∠DAC，
∴∠EPA=∠BAC，
∴AE=PE，
∴四邊形AEPF是菱形，
∵四邊形AEPF和四邊形CHQK關(guān)于BD對稱，
∴四邊形CHQK也是菱形，
∴EM=FM，AM=PM，AE=AF，
∵∠BAC=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AP⊥EF，
∵∠BAC=∠DAC=30°，AM=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$x，
∴EM=AM×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x，AE=2EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
S_菱形PEAF=$\frac{1}{2}$AP•EF=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²，
∴S₁=2S_菱形PEAF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²；

②當(dāng)$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$時，如圖2，
∵S₁等于大菱形ABCD減去未被遮蓋的兩個小菱形，
由菱形PEAF的邊長AE為$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BE=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴S_菱形BEMH=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-2x+2$\sqrt{3}$，
∴S₁=2$\sqrt{3}$-2S_菱形BEMH=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+4x-2$\sqrt{3}$，
即S₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+4x-2$\sqrt{3}$，
∴S₁=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{\sqrt{3}}{3}x}^{2}（0≤x≤\sqrt{3}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+4x-2\sqrt{3}（\sqrt{3}＜x≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$；


（3）∵有重疊，
∴當(dāng)$\sqrt{3}$＜x≤2$\sqrt{3}$，此時OP=x-$\sqrt{3}$，
∴重疊菱形QMPN的邊長MP=MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2，
∴S₂=$\frac{1}{2}$PQ•MN=$\frac{1}{2}$×2（x-$\sqrt{3}$）（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-2）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-4x+2$\sqrt{3}$，
令$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-4x+2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
解得：x=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，符合題意的是x=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大，用了分類討論思想．