Question

14．閱讀下面材料，小明遇到這樣一個問題：
如圖1，等邊三角形ABC，高AD，點E在AC上滿足AE=$\frac{1}{2}$CE，BE與AD相交于點F，在圖1中是否存在與DF相等的線段？若存在，請證明．小明通過探究發(fā)現(xiàn)，延長AD至G，使AD=DG，連接BG，得到一對全等三角形和一對相似三角形，從而解決問題．請回答：

（1）與DF相等的線段是AF；
（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；
（3）參考小明的發(fā)現(xiàn)，解決下面問題：
如圖2，△ABC中，AE=mEC，BD=nDC，求$\frac{DF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接寫成DF=AF；
（2）先判斷出△ADC≌△GDB，得出BG=AC，再判斷出△AEF∽△GBF得出比例式化簡即可得出結(jié)論；
（3）類似于（2）方法，過點B作BG∥AC，得出△ACD∽△GBD即可得出BG=nAC，DG=nAD，進而得出FG=nAF+（n+1）DF，再用△BFG∽△EFA，得出比例式，最后代換即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）故答案為：AF；

（2）如圖1，延長AD至G，使AD=DG，連接BG，
∵AD是等邊三角形ABC的邊BC上的高，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠ADC=∠GDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△GDB，
∴BG=AC，
∠CAD=∠BGD，
∴AC∥BG，
∴△AEF∽△GBF，
∴$\frac{AE}{BG}=\frac{AF}{GF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$EC，
∴BG=AC=3AE，
∴$\frac{AE}{3AE}=\frac{AF}{GF}$，
∵FG=AG-AF=2AD-AF=2（AF+DF）-AF=AF+2DF，
∴$\frac{AF}{AF+2DF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{2DF}=\frac{1}{2}$，
∴DF=AF；

（3）如圖（2），
過點B作BG∥AC交AD的延長線于G，
∴△ACD∽△GBD，
∴$\frac{AC}{BG}=\frac{AD}{DG}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD=nDC，
∴BG=nAC，DG=nAD=n（AF+DF），
∵AE=mEC，
∴AC=AE+EC=（m+1）EC，
∴FG=DG+DF=n（AF+DF）+DF=nAF+（n+1）DF，
∵BG∥AC，
∴△BFG∽△EFA，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{BG}{AE}$=$\frac{nAC}{AE}$=$\frac{n（m+1）EC}{mEC}$=$\frac{n（m+1）}{m}$，
∴$\frac{nAF+（n+1）DF}{AF}=\frac{n（m+1）}{m}$，
∴n+$\frac{（n+1）DF}{AF}=\frac{n（m+1）}{m}$，
∴$\frac{（n+1）DF}{AF}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{n}{m（n+1）}$．

點評 此題是相似三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，是一道很好的中考�？碱}．