Question

14．已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分線交AC于點D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F，求證：四邊形AEFD為菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)全等三角形的判定定理HL進行證明Rt△BDF≌Rt△BDA（HL），得到∠ADE=∠FDE；根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等量代換推知∠EDA=∠AED，易證AD=AE；從而根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判斷．

解答 證明：∵∠BAC=90°，
∴AC⊥EC．
又∵AD⊥AB，BD是∠ABC的平分線，
∴FD=AD．
在Rt△BDF與Rt△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=AD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△BDA（HL）；
∴∠ADE=∠FDE，
∵AH是BC邊上的高，
∴AH⊥BC．
又∵DF⊥BC，
∴AH∥DF，
∴∠AED=∠FDE．
∴∠EDA=∠AED，
∴AD=AE，
∴AD=DF=AE．
又∵DF∥AD，
∴四邊形AEFD是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．