Question

15．學(xué)校校園內(nèi)有一塊形狀為直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，現(xiàn)計(jì)劃在上面建設(shè)一個(gè)面積為S的矩形綜合樓PMBN，其中點(diǎn)P在線段AD上，且PM的長至少為36m    
（1）求邊AD的長；     
（2）設(shè)PA=xm，求S關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）若S=2800m²，求PA的長；  
（4）當(dāng)x的值為多少時(shí)，s的值最大，最大值為多少？
（5）求tan$\frac{A}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可通過構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解，過D作AB的垂線，那么可在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)梯形兩底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的長．
（2）可根據(jù)（1）中構(gòu)建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值，然后在直角三角形AMP中，表示出AM，PM的長，進(jìn)而可根據(jù)AB的長，表示出矩形的長BM的值，由此可根據(jù)矩形的面積公式得出關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式．自變量的取值范圍可根據(jù)PM的長至少為36m來解，即讓PM的表達(dá)式大于等于36即可．
（3）可將S的值代入（2）所求得的函數(shù)解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自變量的取值范圍．
（4）由S=$-\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x=-$\frac{12}{25}（x-\frac{250}{3}）^{2}+\frac{1000}{3}$，當(dāng)x-$\frac{250}{3}$=0時(shí)，S有最大值，即可解答．
（5）在Rt△AED中，求得tanA=$\frac{DE}{AE}=\frac{80}{60}=\frac{4}{3}$，根據(jù)$tanA=\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}=\frac{4}{3}$，解得：$tan{\frac{A}{2}}_{1}=-2$，$tan{\frac{A}{2}}_{2}=\frac{1}{2}$，因?yàn)椤螦為銳角，$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

則DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PM，
Rt△ADE中，DE=80m，
∴AE=AB-BE=100-40=60m，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}=\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}=100$m．
（2）∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{PM}{DE}=\frac{AM}{AE}$，
即$\frac{x}{100}=\frac{PM}{80}=\frac{AM}{60}$，
∴PM=$\frac{4}{5}$x，AM=$\frac{3}{5}$x，
即MB=AB-AM=100-$\frac{3}{5}$x，
S=PM•MB=$\frac{4}{5}$x•（100-$\frac{3}{5}$x）=-$\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x，
由PM=$\frac{4}{5}$x≥36，得x≥45
∴自變量x的取值范圍為45≤x≤100．
（3）當(dāng)S=2800m²時(shí)，
-$\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x=2800，
12x²-2000x+70000=0，
3x²-500x+17500=0，
解得：${x}_{1}=\frac{350}{3}$，x₂=50，
∵45≤x≤100，
∴x=50，
即PA=50m．
（4）S=$-\frac{12}{25}{x}^{2}$+80x=-$\frac{12}{25}（x-\frac{250}{3}）^{2}+\frac{1000}{3}$，
當(dāng)x-$\frac{250}{3}$=0時(shí)，S有最大值，
即x=$\frac{250}{3}$時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{1000}{3}$．
（5）在Rt△AED中，DE=80，AE=60，
∴tanA=$\frac{DE}{AE}=\frac{80}{60}=\frac{4}{3}$，
∵$tanA=\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}=\frac{4}{3}$，
解得：$tan{\frac{A}{2}}_{1}=-2$，$tan{\frac{A}{2}}_{2}=\frac{1}{2}$，
∵∠A為銳角，
∴$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題結(jié)合實(shí)際問題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)求值，解決本題的關(guān)鍵是正確的用x表示出矩形的長和寬，然后利用勾股定理，相似三角形以及二次函數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行解答．