Question

20．如圖，△ABC的三條中位線組成第二個三角形，第二個三角形的三條中位線組成第三個三角形，依此類推．
（1）若△ABC的周長為1，則第2014個三角形的周長是多少？第n個三角形的周長呢？
（2）若S_△ABC=1，則第2014個三角形的面積是多少？第n個三角形的面積呢？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理證明三角形相似，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比解答；
（2）根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方解答．

解答 解：（1）∵△ABC的三條中位線組成第二個三角形，
∴第二個三角形與△ABC的周長之比是1：2，
則第二個三角形的周長為$\frac{1}{2}$，
第三個三角形的周長為$\frac{1}{4}$，
則第2014個三角形的周長是$\frac{1}{{2}^{2013}}$，第n個三角形的周長$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（2）∵△ABC的三條中位線組成第二個三角形，
∴第二個三角形與△ABC的面積之比是1：4，
則第二個三角形的面積為$\frac{1}{4}$，
第三個三角形的面積為$\frac{1}{16}$，
則第2014個三角形的面積是$\frac{1}{{4}^{2103}}$，第n個三角形的面積$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．

點評 本題考查的是三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半、相似三角形的周長之比等于相似比、面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．