Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=8cm，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向以1cm/s的速度運動，過點P作PQ⊥BC于Q，過點Q作QR∥BA交AC于R，交DE于G，當點Q與點C重合時，點P停止運動．設點P運動時間為ts．
（1）點D到BC的距離DH的長是$\frac{12}{5}$；
（2）當四邊形BQGD是菱形時，t=$\frac{3}{2}$，S_△PQR=$\frac{378}{125}$；
（3）令QR=y，求y關于t的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（4）是否存在點P，使△PQR為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根據相似三角形的性質求出DH的長；
（2）根據D，E分別是邊AB，AC的中點，得到DE∥BC，得到四邊形BQGD是平行四邊形，于是得到當BD=BQ時．?BQGD是菱形，即可得到t的值，如圖1，過P作PN⊥QR于N，由△PQN∽△ABC，求得PN=$\frac{36}{25}$，由△CQR∽△CBA，求得RQ=$\frac{21}{5}$，即可得到結果；
（3）根據△RQC∽△ABC，根據三角形的相似比求出y關于t的函數關系式；
（4）畫出圖形，根據圖形進行討論：①當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，得到∠1=∠C．于是得到cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，根據$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，即可求出t的值；②當PQ=RQ時，-$\frac{3}{5}$t+$\frac{123}{25}$=$\frac{12}{5}$，即可求出t的值；③當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，于是點R為EC的中點，故CR=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$AC=2．由于tanC=$\frac{QR}{CR}$=$\frac{BA}{CA}$，即可得到結果．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴$\frac{DH}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴DH=$\frac{BD}{BC}$•AC=$\frac{3}{10}$×8=$\frac{12}{5}$；
故答案為：$\frac{12}{5}$；

（2）∵D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴DE∥BC，
∵QR∥AB，
∴四邊形BQGD是平行四邊形，
∴當BD=BQ時．?BQGD是菱形，
∵AB=6cm，AC=8cm，
∴tanB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
∵BD=$\frac{1}{2}$AB=3，BH=$\frac{3}{5}$BD=$\frac{9}{5}$，
∴3=t+$\frac{9}{5}$，
∴t=$\frac{6}{5}$，
∴當四邊形BQGD是菱形時，t=$\frac{6}{5}$，
如圖1，過P作PN⊥QR于N，
∴∠PQN+∠RQC=∠RQC+∠C=90°，
∴∠PQN=∠C，
∴△PQN∽△ABC，
∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{PN}{AB}$，
∵PQ=DH=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{\frac{12}{5}}{10}=\frac{PN}{6}$，
∴PN=$\frac{36}{25}$，
∵RQ∥AB，
∴△CQR∽△CBA，
∴$\frac{CQ}{CB}=\frac{RQ}{AB}$，
∵CQ=BC-BQ=7，
∴$\frac{7}{10}=\frac{RQ}{6}$，
∴RQ=$\frac{21}{5}$，
∴S_△PQR=$\frac{1}{2}$QR•PN=$\frac{1}{2}×\frac{36}{25}×\frac{21}{5}$=$\frac{378}{125}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$，$\frac{378}{125}$，

（3）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴$\frac{RQ}{AB}$=$\frac{QC}{BC}$，
∵BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴BQ=$\frac{9}{5}$+t，
∴$\frac{y}{6}$=$\frac{10-\frac{9}{5}-t}{10}$，
即y關于x的函數關系式為：y=-$\frac{3}{5}$t+$\frac{123}{25}$；

（4）存在，分三種情況：
①如圖2當PQ=PR時，過點P作PM⊥QR于M，則QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{QM}{QP}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（-\frac{3}{5}t+\frac{123}{25}）}{\frac{12}{5}}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{9}{5}$．
②如圖3，當PQ=RQ時，-$\frac{3}{5}$t+$\frac{123}{25}$=$\frac{12}{5}$，
∴t=$\frac{21}{5}$．
③如圖4，作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
當PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴點R為EC的中點，
∴CR=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{4}$AC=2．
∵tanC=$\frac{QR}{CR}$=$\frac{BA}{CA}$，
∴$\frac{-\frac{3}{5}t+\frac{123}{25}}{2}$=$\frac{6}{8}$，
∴t=$\frac{73}{3}$．
綜上所述，當t為$\frac{9}{5}$或$\frac{21}{5}$或$\frac{73}{3}$時，△PQR為等腰三角形．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，銳角三角函數，等腰三角形的性質，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，用數形結合的方法解答．