Question

6．已知E是圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，I是△ABC的內(nèi)心，若∠ABC=70°，∠ACB=60°，DE=DA，則∠DEI的度數(shù)是25°．

Answer 1

分析 連接AI、CI．在△ABC中，由三角形的內(nèi)角和定理可知：∠BAC=50°，因?yàn)椤袸是△ABC的內(nèi)切圓，所以∠1=$\frac{1}{2}∠ACB=30°$，∠2=$\frac{1}{2}∠CAB=25°$，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠EDA=70°，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠DEA=55°，然后可證明∠DEA+∠AIC=180°，故點(diǎn)E、A、I、C共圓，所以∠DEI=25°．

解答 解：如圖所示：

解：連接AI、CI．
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-60°=50°，
∵⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠ACB=30°$，∠2=$\frac{1}{2}∠CAB=25°$．
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠EDA=∠B=70°．
∵DE=DA，
∴∠DEA=∠DAE=$\frac{1}{2}×（180°-70°）$=55°．
在△ACI中，∠AIC=180°-∠1-∠2=125°．
∴∠DEA+∠AIC=180°．
∴點(diǎn)E、A、I、C共圓．
∴∠DEI=∠2=25°．
故答案為：25°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，證得點(diǎn)E、A、I、C共圓是解題的關(guān)鍵．