Question

10．如圖，Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠B的平分線交AC于D，從C點向BD的延長線作垂線，垂足為E．求證：BD=2CE．

Answer 1

分析 分別延長BA，CE交于點F，根據已知條件，易證△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根據等腰三角形三線合一這一性質可得CE=FE，再證明△ABD≌△ACF，證得BD=CF，從而證得BD=2CE．

解答 證明：分別延長BA，CE交于點F，
明：∵∠ABC的平分線交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BFE和△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△BCE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
又AB=AC，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠FAC=∠BAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練應用等邊對等角以及等腰三角形三線合一的性質．