Question

18．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊AC與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊AC恰好重合．已知AB=2$\sqrt{3}$，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的平分線上時(shí)，求DP的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以D、P、B、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在BC邊上，求出此時(shí)?DPBQ的面積．

Answer 1

分析 （1）作DF⊥AC于F，由AB的長求得BC、AC的長．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長．則由勾股定理即可求得DP的長．
（2）由（1）得BC與DF的關(guān)系，則DP與DF的關(guān)系也已知，先求得∠PDF的度數(shù)，則∠PDA的度數(shù)也可求出，需注意有兩種情況．
（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點(diǎn)，作出平行四邊形，求得面積．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=3．
（1）如圖（1），作DF⊥AC于F．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=$\frac{3}{2}$．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=$\frac{1}{2}$，
∴DP=$\sqrt{D{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，
根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=$\frac{3}{2}$，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=$\sqrt{3}$，
∴cos∠PDF=$\frac{DF}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度數(shù)為15°或75°；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC中點(diǎn)（如圖4），即CP=$\frac{3}{2}$時(shí)，
以D，P，B，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上．
∵四邊形DPBQ為平行四邊形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，
∴根據(jù)勾股定理得：AC=3，
∵△DAC為等腰直角三角形，
∴DP=CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∵BC∥DP，
∴CP是平行四邊形DPBQ的高，
∴S_{平行四邊形DPBQ}=DP•CP=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度系數(shù)較大，關(guān)鍵是熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．