Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑畫弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結(jié)論：①BE=$\frac{1}{2}$AC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=$\frac{1}{2}$AB中，一定正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根據(jù)作圖可得P到B、C兩點距離相等，再由D是BC邊的中點可得PD是BC的垂直平分線，由三角形中位線定理及直角三角形的性質(zhì)可得①正確；再根據(jù)角的互余關(guān)系可證明∠A=∠EBA，故②正確；結(jié)論③不能證明，根據(jù)三角形中位線定理可得④正確．

解答 解：∵由作圖可得P到B、C兩點距離相等，
又∵點D是BC邊的中點，
∴PD是BC的垂直平分線，
∴DE是△ABC的中位線，
∴E是AC的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$AC，故①正確；
∵PD是BC的垂直平分線，
∴EB=EC，
∴∠C=∠EBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠A=∠EBA，故②正確；
根據(jù)所給條件無法證明EB平分∠AED，故③錯誤；
∵∠A=∠EBA，
∴AE=BE，
∵BE=EC，
∴EA=EC，
∵D為BC中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB，故④正確．
故選B．

點評 此題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法和性質(zhì)．