Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∠BAC+∠BDC=180°，AB=CD=5，tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，則AD=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作輔助線(xiàn)，構(gòu)建直角三角形，證明△BME≌△DNE和Rt△ABM≌Rt△DCN，得BE=CE=DE，從而得△BCD是直角三角形，利用同角的正切先求出BC的長(zhǎng)，再依次求出AM、CN、DN、AD的長(zhǎng)，

解答 解：過(guò)B作BM⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，過(guò)D作DN⊥CA，垂足為N，
∴∠BME=∠DN90°，
∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，
∴BE=DE，
∵∠BEM=∠DEN，
∴△BME≌△DNE，
∴BM=DN，
∵AB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠BAM=∠DCN，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，
∴∠BDC=∠BAM，
∴∠BDC=∠DCN，
∴DE=CE，
∴BE=CE=DE，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN，
∴△BCD是直角三角形，
∵tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，
∵DC=5，
∴BC=10，
在△BMC中，設(shè)BM=x，則CM=2x，
由勾股定理得：x²+（2x）²=10²，
x=±2$\sqrt{5}$，
∴BM=DN=2$\sqrt{5}$，CM=4$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CN=AM=$\sqrt{5}$，
∴AN=CM-AM-CN=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
在△ADN中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，
故答案為：2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是解直角三角形問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助線(xiàn)是本題的關(guān)鍵，利用三角形全等證明邊相等，并借助同角的三角函數(shù)值求線(xiàn)段的長(zhǎng)，與勾股定理相結(jié)合，依次求出各邊的長(zhǎng)即可．