Question

14．如圖，BC表示河岸，現(xiàn)測(cè)得∠ACB=30°，∠ABC=45°，AC=20米，某人位于河岸上的P處，
（1）求BC的長(zhǎng)．
（2）某人在河岸BC上行走，當(dāng)△PCA為等腰三角形時(shí)，求∠PAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，則∠ADC=∠ADB=90°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AD=$\frac{1}{2}$AC=10米，得出CD=$\sqrt{3}$AD=10$\sqrt{3}$（米），證出△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=10米，即可求出BC的長(zhǎng)；
（2）分兩種情況：①當(dāng)AC=PC時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠PAC的度數(shù)；
②當(dāng)PA=PC時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PAC=∠ACB=30°；即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如圖所示：
則∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=10米，
∴CD=$\sqrt{3}$AD=10$\sqrt{3}$（米），
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD=10米，
∴BC=BD+CD=10+10$\sqrt{3}$（米）；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)AC=PC時(shí)，∠PAC=∠APC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°；
②當(dāng)PA=PC時(shí)，∠PAC=∠ACB=30°；
綜上所述：當(dāng)△PCA為等腰三角形時(shí)，∠PAC的度數(shù)為75°或30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握解直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．