Question

3．如圖，AD是△ABC的高，四邊形PQRS是矩形，且點P、Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，矩形的長是寬的2倍，其中BC=30cm，AD=20cm．
（1）△ASR與△ABC相似嗎？為什么？
（2）求矩形PQRS的面積．

Answer 1

分析 （1）△ASR與△ABC相似，根據(jù)矩形的性質得到SR∥BC，于是得到結論；
（2）由矩形PQRS的長是寬的2倍，分兩種情況：①當SR=2SP時，通過△ASR∽△ABC，得到$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，求出SP=$\frac{60}{7}$，SR=$\frac{120}{7}$，即可得到結果；②當SP=2SR時，根據(jù)比例式求得SR=$\frac{15}{2}$，SP=$\frac{30}{2}$，即可得到矩形PQRS的面積=$\frac{225}{2}$．

解答 解：（1）△ASR與△ABC相似，
理由：∵四邊形PQRS是矩形，
∴SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC；

（2）∵矩形PQRS的長是寬的2倍，
∴①當SR=2SP時，
∵SR∥BC，AD⊥BC，
∴AE⊥SR，
∵△ASR∽△ABC，
∴$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{2SP}{30}=\frac{20-SP}{20}$，
∴SP=$\frac{60}{7}$，
∴SR=$\frac{120}{7}$，
∴矩形PQRS的面積=$\frac{7200}{49}$，
②當SP=2SR時，
∴$\frac{SR}{30}=\frac{20-2SR}{20}$，
∴SR=$\frac{15}{2}$，
∴SP=$\frac{30}{2}$，
∴矩形PQRS的面積=$\frac{225}{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，熟記相似三角形的判定定理是解題的關鍵．