Question

1．已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊△OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．另一等腰△OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．在等邊△OAB的邊上（點(diǎn)A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$0），（$\frac{2}{3}$，0），（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 如果△OCD為等腰三角形，那么分點(diǎn)D在OA邊或者OB邊上或AB邊上三種情形．每一種情形，都有可能O為頂點(diǎn)，C為頂點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，分別討論，得出結(jié)果．

解答 解；如圖1，若點(diǎn)D在OA上時(shí)，OC=OD，則OD=OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
如圖2，若OD=CD時(shí)，
∵∠COD=30°，cos∠COD=$\frac{DQ}{OD}$，
∴cos30°=$\frac{DQ}{OD}$，
∴OD=$\frac{OQ}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BA上時(shí)，
若OD=CD，則點(diǎn)D在OC的垂直平分線上，設(shè)OC的垂直平分線DQ與x軸交于點(diǎn)P，
則∠APD=60°，OQ=CQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠DAP=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
過點(diǎn)D作DM⊥PA于M，則PM=DM，
∵∠AOC=30°，
∴OP=$\frac{OQ}{cos30°}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$，
∴OM=$\frac{4}{3}$，DM=tan60°•PM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；

如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在OB上時(shí)，
若OD=OC，則OD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
過點(diǎn)D作DM⊥OA于M，則OM=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DM=1，
則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）；
綜上所述；符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$0）或（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分類討論時(shí)，做到不重復(fù)，不遺漏．