Question

9．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BE的垂線交BE于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，連接EG，CF．
（1）求證：四邊形ABGE是菱形；
（2）若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）先證明AB=AE，由ASA證明△ABF≌△GBF，得出AB=GB，因此AE=GB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，由菱形的性質(zhì)得出∠GBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，在Rt△BFG中，由三角函數(shù)求出BF=2$\sqrt{3}$，在Rt△BFM中，求出FM=$\sqrt{3}$，再求出BM=3，得出CM=BC-BM=5-3=2，Rt△FMC中，由勾股定理即可得出CF的長．

解答 （1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC且AD=BC，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=∠GFB=90°，
在△ABF和△GBF中，$\left\{\begin{array}{l}{ABE=∠CBE}&{\;}\\{BF=BF}&{\;}\\{∠AFB=∠GFB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GBF（ASA），
∴AB=GB，
∴AE=GB，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABGE是平行四邊形，
又∵AB=GB，
∴四邊形ABGE是菱形；

（2）解：過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，如圖所示：
∵四邊形ABGE是菱形，
∴∠GBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，BG=AB=4，BC=AD=5，
在Rt△BFG中，BF=cos∠GBF×BG=cos30°×4=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BFM中，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
BM=cos∠GBF×BF=cos30°×BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，
∴CM=BC-BM=5-3=2，
∴Rt△FMC中，CF=$\sqrt{F{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．