Question

6．如圖，已知直線y=-x+3分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與B點(diǎn)不重合）．連接AC，AO：CO=1：3．
（1）求△ABC的面積；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上，是否存在與點(diǎn)C不重合的一點(diǎn)P，使PAB的面積與△ABC的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式求B、C坐標(biāo)，再根據(jù)AO：CO=1：3求出A點(diǎn)坐標(biāo)，則OC、OA、OB全部求出，△ABC的面積自然求出；
（2）用待定系數(shù)法求解即可；
（3）先假設(shè)存點(diǎn)P，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用PAB的面積與△ABC的面積相等建立方程求解即可；

解答 解：（1）∵直線y=-x+3分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)，
∴B（3，0），C（0，3），
∴CO=3，
∵AO：CO=1：3，
∴AO=1，即：A（-1，0），
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×OC×（OA+OB）$=$\frac{1}{2}×3×4$=6．
（2）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（3）在拋物線上存在點(diǎn)P使△PAB的面積與△ABC的面積相等．
設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y_P，由△PAB的面積與△ABC的面積相等，得：
$\frac{1}{2}×4×{y}_{P}=6$，解得：y_P=3或y_P=-3．
當(dāng)y_P=-3時(shí)，-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2
當(dāng)y_P=3時(shí)，-x²+2x+3=-3，
解得：${x}_{3}=1+\sqrt{7}$，x${x}_{4}=1-\sqrt{7}$，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，3）或（$1+\sqrt{7}$，-3）或（$1-\sqrt{7}$，-3）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形面積求法、以及拋物線上滿(mǎn)足特定的面積等式條件的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的求法，難度適中．第（3）問(wèn)是特殊動(dòng)點(diǎn)的存在性問(wèn)題，其解答的基本思路是利用所給定的條件建立方程求解．