Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．
（3）求證：AD+BG=DG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS或ASA證明三角形全等；
（2）如圖2，EG⊥DF，先證明△DGF是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出結(jié)論；
（3）由（1）中的全等得對(duì)應(yīng)邊AD=BF，再由FG=DG得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如圖2，EG⊥DF，理由是：
∵∠ADF=∠F，∠ADF=∠GDF，
∴∠F=∠GDF，
∴DG=FG，
由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴DE=EF，
∴EG⊥FD；
（3）如圖2，由（1）得：△ADE≌△BFE，
∴AD=BF，
∵FG=BF+BG，
∴FG=AD+BG，
∵FG=DG，
∴AD+BG=DG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)和判定，難度不大，熟練掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA，明確兩直線的位置關(guān)系有：①平行，②垂直，本題根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明兩直線垂直，這在幾何證明中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握．