Question

15．已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，經(jīng)過點(diǎn)E（3，4），現(xiàn)請你在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上找出一點(diǎn)P，使∠POE=45°，則此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．

Answer 1

分析 過點(diǎn)E作EA⊥x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，由點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上得出k=12，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，$\frac{12}{n}$），通過分割圖形求出△OEP的面積，再根據(jù)面積公式表示出△OEP的面積，由此即可得出關(guān)于n的一元四次方程，結(jié)合函數(shù)圖象解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：方法一、過點(diǎn)E作EA⊥x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，如圖所示．

∵點(diǎn)E（3，4）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=3×4=12，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，$\frac{12}{n}$），則點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（n，0），
S_{四邊形OBPE}=S_△OAE+S_梯形PBAE=$\frac{1}{2}$|k|+$\frac{1}{2}$（PB+EA）•AB=6+$\frac{1}{2}$（$\frac{12}{n}$+4）（n-3）=2n-$\frac{18}{n}$+6．
S_△OEP=S_{四邊形OBPE}-S_△OBP=2n-$\frac{18}{n}$+6-$\frac{1}{2}$|k|=2n-$\frac{18}{n}$．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{12}{n}）^{2}}$，
S_△OEP=$\frac{1}{2}$OE•OP•sin∠EOP=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{12}{n}）^{2}}$=2n-$\frac{18}{n}$，
即7n⁴-576n²-1008=0，
解得：n²=84或n²=-84（舍去），
∴n₁=2$\sqrt{21}$，n₂=-2$\sqrt{21}$（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）；
方法二、

如圖，過點(diǎn)E作EF⊥OE交OP于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EN⊥y軸，垂足為N，過點(diǎn)F作FM⊥NE于點(diǎn)M，
∴∠ONE=∠EMF=90°，
∴∠NOE+∠OEN=90°，
∵∠OEF=90°，
∴∠OEN+∠FEM=90°，
∴∠NOE=∠MEF，
若∠POE=45°，則OE=EF，
在△ONE和△MEF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ONE=∠EMF=90°}\\{∠NOE=∠MEF}\\{OE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ONE≌△MEF（AAS），
∴EM=ON=4、MF=NE=3，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（7，1），
∴直線OF的解析式為y=$\frac{1}{7}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{7}x}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$，解得x=2$\sqrt{21}$或x=-2$\sqrt{21}$（舍），
當(dāng)x=2$\sqrt{21}$時，y=$\frac{12}{x}$=$\frac{12}{2\sqrt{21}}$=$\frac{6\sqrt{21}}{21}$，
即點(diǎn)P（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$），
故答案為：（2$\sqrt{21}$，$\frac{6\sqrt{21}}{21}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解一元高次方程，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于n的一元四次方程．本題屬于中檔題，難道不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，根據(jù)三角形面積的不同求法得出關(guān)于n的一元高次方程是關(guān)鍵．