Question

10．如圖，?ABCD中，E為CD邊的延長線上一點，BE交AD于F，AC交BF于點O．
（1）已知：AB=4，BC=6，DE=$\frac{1}{2}$CD：①求DF的長；②求證：BF平分∠ABC．
（2）求證：OB²=OE•OF．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由DE=$\frac{1}{2}$CD，得到DE=2，求得CE=6=BC，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到∠E=∠CBE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠ABE，于是得到結(jié)論；
（2）由AB∥CD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由AD∥BC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，進而得出OB²=OF•OE．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{DF}{BC}$，
∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DF=2；
②∵DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=2，
∴CE=6=BC，
∴∠E=∠CBE，
∵AB∥CE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠CBE，
∴BF平分∠ABC；
（2）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB=OC：OA；
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF=OC：OA．
∴OB：OF=OE：OB，即
OB²=OF•OE．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度，證線段的乘積相等，通常轉(zhuǎn)化為比例式形式，再證明所在的三角形相似，得出OB²=OF•OE是解決問題的關(guān)鍵．