Question

10．$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…將以上二個(gè)等式兩邊分別相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：
（1）猜想并寫出：$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2010×2011}$=$\frac{2010}{2011}$
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$
（3）探究并計(jì)算：
$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2010×2012}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知等式做出猜想，寫出即可；
（2）原式各項(xiàng)利用拆項(xiàng)法變形，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式變形后，利用拆項(xiàng)法整理后計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$；
（2）①原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2011}$=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$；
②原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2010}$-$\frac{1}{2012}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2012}$）=$\frac{1005}{4024}$，
故答案為：（1）$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$；（2）①$\frac{2010}{2011}$；②$\frac{n}{n+1}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．