Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且AO=5、OC=10．
（1）在坐標(biāo)平面內(nèi)將此矩形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)m（0＜m＜360）度后，如果點C恰好落在直線AB上，那么m=150°或30°．
（2）在圖（2）中，Rt△DEF，∠D=90°，DE=DF=6，DE邊在x軸上且E點與原點重合，將Rt△DEF沿x軸的正方向以每秒1個單位的速度平移，當(dāng)點E與點C重合時停止運動，設(shè)平移的時間為t，Rt△DEF與矩形OABC重疊部分的面積為y，求在平移過程中y與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）如圖（3）把△OAC沿直線AC折疊后點O落在點O′處，延長AO′與線段CB的延長線交于點E，再把△ABC沿直線AC折疊后點B落在點B′處，連接B′E，
①求△AB′E的面積；
②過點A任作直線l交線段EB′于點P，E、B′到直線l的距離分別為d₁、d₂，試求d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）先畫出圖形，C點C恰好落在直線AB上（有C′和C″兩點），在Rt△C′AO中，求出∠AC′O=30°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB∥OC，求出∠C′OC+∠AC′O=180°，∠C′C″O=∠COC″，即可得出答案；
（2）分為三種情況：當(dāng)0＜t≤5時，②當(dāng)5＜t≤6時，③當(dāng)6＜t≤10時，畫出圖形，求出重疊部分面積即可；
（3）求出AE=EC，設(shè)AE=x，則EB=x-5，在Rt△EBA中，由勾股定理得出x²=10²+（x-5）²，求出AE=12.5，即可求出答案；過B′作B′M⊥AP于M，過E作EN⊥AP于N，EG⊥B′M于G，得出當(dāng)G和E重合時，d₁+d₂的值最大，求出B′E長即可．

解答 解：（1）如圖1，C點C恰好落在直線AB上（有C′和C″兩點），

∵在Rt△C′AO中，∠C″AO=90°，OC″=OC=10，OA=5，
∴∠AC′O=30°，
∵四邊形AOCB是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠C′OC+∠AC′O=180°，∠C′C″O=∠COC″，
∴∠C′OC=150°，
∵OC′=OC″=OC=10，
∴∠AC″O=∠C′=30°，
∴∠COC″=∠AC″O=30°，
即m=150°或30°，
故答案為：150°或30°；

（2）分為三種情況：
①當(dāng)0＜t≤5時，如圖2，設(shè)EF交OA于Q，

∵DF=DE，∠FDE=90°，
∴∠FED=45°，
∵四邊形AOCB是矩形，
∴∠AOC=90°，
∴∠OQE=∠FEO=45°，
∴OQ=OE=t×1=t，
∴重疊部分的面積S=S_△QOE=$\frac{1}{2}$t•t=$\frac{1}{2}$t²；
②當(dāng)5＜t≤6時，如圖3，

由①知：OE=OQ=t，
∵四邊形AOCB是矩形，
∴AB∥OC，∠QAB=90°，
∴∠∠QRA=∠FED=45°，
∴∠AQR=∠QRA=45°，
∴AR=AQ=t-5，
∴重疊部分的面積S=S_梯形AOER=$\frac{1}{2}$×（AR+OE）×OA=$\frac{1}{2}$•（t-5+t）•5，
即S=5t-12.5；
③當(dāng)6＜t≤10時，如圖4，

∵QF=QR=6-5=1，
∴重疊部分的面積S=$\frac{1}{2}$×（QR+DE）×DQ=$\frac{1}{2}×$（1+6）×5=17.5；

（3）如圖5，

∵四邊形AOCB是矩形，
∴∠OAB=90°，
∵根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AB=AB′=10，∠OAC=∠EAC，∠BAC=∠B′AC，
∴∠EAB′=∠EAC+∠B′AC=∠OAC+∠BAC=∠OAB=90°，
∵四邊形AOCB是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠ECA=∠OAC，
∵∠OAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
設(shè)AE=x，則EB=x-5，
在Rt△EBA中，由勾股定理得：x²=10²+（x-5）²，
解得：x=12.5，
即AE=12.5，
∴△AB′E的面積的面積是：$\frac{1}{2}$×AB′×AE=$\frac{1}{2}×$10×12.5=62.5；
如圖6，過B′作B′M⊥AP于M，過E作EN⊥AP于N，EG⊥B′M于G，
∠G=∠GMN=∠ENM=90°，
則四邊形EGMN是矩形，
所以MG=EN=d₁，B′M=d₂，
所以d₁+d₂=B′G，
當(dāng)G和E重合時，d₁+d₂的值最大，最大值是$\sqrt{1{0}^{2}+12．{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{2}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．