Question

14．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，5），點(diǎn)B（m，n），其中m＞1，AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，垂足為N，AM與BN的交點(diǎn)為C．
（1）寫出反比例函數(shù)解析式；
（2）若四邊形ABMN是平行四邊形，求AB所在直線的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)B在雙曲線上移動(dòng)時(shí)，試判斷直線AB與直線MN的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)AC平行于y軸，可得m的值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）根據(jù)平行線間的性質(zhì)：一次項(xiàng)的系數(shù)相等，可得答案．

解答 解：（1）將A（1，5）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，得
$\frac{k}{1}$=5．解得k=5，
反比例函數(shù)y=$\frac{5}{x}$；
（2）由四邊形ABMN是平行四邊形，得
NC=CB，MC=AC．
由AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，得
C（$\frac{m}{2}$，n）還可以表示為（1，$\frac{5}{2}$）．
$\frac{m}{2}$=1，n=$\frac{5}{2}$．
解得m=2，n=$\frac{5}{2}$，即B（2，$\frac{5}{2}$），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（1，5），B（2，$\frac{5}{2}$）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{2k+b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{5}{2}}\\{b=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
直線AB的解析式為y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{15}{2}$；
（3）AB∥MN，理由如下：
由AM⊥x軸，垂足為M，BN⊥y軸，得
M（1，0），N（0，n）．
直線MN一次項(xiàng)的系數(shù)為$\frac{0-n}{1-0}$=-n，
直線AB一次項(xiàng)系數(shù)為$\frac{n-5}{m-1}$=$\frac{n-5}{\frac{5}{n}-1}$=$\frac{（n-5）n}{5-n}$=-n，
∴AB∥MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）平行四邊形的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，（3）利用平行線間的一次項(xiàng)系數(shù)相等是解題關(guān)鍵．