Question

19．如圖，AB、BC分別是⊙O的直徑和弦，點D為$\widehat{BC}$上一點，弦DE交⊙O于點E，交AB于點F，交BC于點G，過點C的切線交ED的延長線于H，且HC=HG，連接BH，交⊙O于點M，連接MD、ME、BE．求證：
①∠BED=∠HMD；
②DE⊥AB；
③∠HMD=∠MHE+∠MEH．

Answer 1

分析 ①直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠DMB+∠BMD=180°，進而得出答案；
②連接OC，利用切線的性質(zhì)，進而證明∠BFG=∠OCH=90°即可得出答案；
③利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，證明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．

解答 證明：①∵四邊形DEBM是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DMB+∠BMD=180°，
∵∠HMD+∠BMD=180°，
∴∠BED=∠HMD；

②連接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C點，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；

③由②知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BE}$，
∴∠BED=∠BME；
∵四邊形BMDE內(nèi)接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，熟練應用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題關鍵．