Question

9．觀察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=1$\frac{1}{2}$
$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=1$\frac{1}{6}$
$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1$\frac{1}{12}$
請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：
（1）$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1$\frac{1}{20}$
（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}$（仿照上式寫出過程）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)提供的信息，即可解答；
（2）根據(jù)規(guī)律，寫出等式；
（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，即可解答．

解答 解：（1）$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1$+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$=1$\frac{1}{20}$；故答案為：1$\frac{1}{20}$；
（2）$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$；故答案為：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$；
（3）$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{{7}^{2}}+\frac{1}{{8}^{2}}}=1\frac{1}{56}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解決本題的關(guān)鍵是關(guān)鍵信息，找到規(guī)律．