Question

8．若關(guān)于x的方程x²+2nx+n²-3n+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，則x₁•x₂+5n的最小值為$\frac{34}{9}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)判別式的意義得到得n≥$\frac{2}{3}$，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁•x₂=n²-3n+2，所以x₁•x₂+5n=n²-3n+2+5n，然后配方得到（n+1）²+1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定x₁•x₂+5n的最小值．

解答 解：根據(jù)題意得△=4n²-4（n²-3n+2）≥0，解得n≥$\frac{2}{3}$，
∵x₁•x₂=n²-3n+2，
∴x₁•x₂+5n=n²-3n+2+5n
=n²+2n+2，
=（n+1）²+1，
∴當(dāng)n≥$\frac{2}{3}$時(shí)，x₁•x₂+5n隨n的增大而增大，
且n=$\frac{2}{3}$時(shí)，x₁•x₂+5n有最小值，最小值=（$\frac{2}{3}$+1）²+1=$\frac{34}{9}$．
故答案為$\frac{34}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式和二次函數(shù)的最值．