Question

9．如圖，在△OAB中，OA=OB，C為AB中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓，AO與⊙O交于點(diǎn)E，直線OB與⊙O交于點(diǎn)F和D，連接EF、CF與OA交于點(diǎn)G．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）求證：OD•EG=OG•EF；
（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)，證明OC⊥AB即可；
（2）證明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解決問(wèn)題；
（3）設(shè)OC=OD=r，在Rt△BOC中，根據(jù)OB²=OC²+BC²，列出方程即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴⊙O是AB的切線．

（2）證明：∵OA=OB，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，
∴∠AOC=∠OEF，
∴OC∥EF，
∴△GOC∽△GEF，
∴$\frac{GO}{GE}$=$\frac{EF}{OC}$，∵OD=OC，
∴OD•EG=OG•EF．

（3）解：設(shè)OC=OD=r，
在Rt△BOC中，∵OB²=OC²+BC²，
∴（r+2）²=r²+4²，
∴r=3，
∴⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．