Question

13．如圖，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，點P是邊AD的上一點，將△ABP沿著直線BP翻折，點A的對應點為點A′．若點A′到B點的距離等于它到CD邊的距離，則AP=9-6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據折疊的性質得到A′B=AB=3，AP=A′P，當點A′到直線CD的距離等于A′B的長時，過點A′作EF⊥AD垂足為E，交BC于F．得到A′B=DE=CF=3=CD，根據勾股定理得到A′F=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，EA₁=3-2$\sqrt{2}$，得到AP=A′P=1-PE，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：∵將△ABP沿著直線BP翻折，點A的對應點為點A′，
∴A′B=AB=3，AP=A′P，
∴點A′到直線CD的距離等于A′B的長時，過點A′作EF⊥AD垂足為E，交BC于F．
∴A′B=DE=CF=3=CD，
在Rt△BFA′中，BF=1，BA′=3，
∴A′F=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，EA₁=3-2$\sqrt{2}$，
∵AE=1，
∴AP=A′P=1-PE，
∵A′P²=PE²+A′E²，
∴（1-PE）²=PE²+（3-2$\sqrt{2}$）²，
∴PE=6$\sqrt{2}$-8，
∴AP=9-6$\sqrt{2}$，
故答案為：9-6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的性質，正方形的判定和性質，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．