Question

13．如圖，“中國海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在點B的正西方向上，島礁C上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在點C的南偏東30°方向上，已知點C在點B的北偏西60°方向上，且B、C兩地相距120海里．
（1）求出此時點A到島礁C的距離；
（2）若“中海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛去，當?shù)竭_點A′時，測得點B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“中國海監(jiān)50”的航行距離．（注：結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出：∠CBD=30°，BC=120海里，再利用cos30°=$\frac{DC}{AC}$，進而求出答案；
（2）根據(jù)題意結合已知得出當點B在A′的南偏東75°的方向上，則A′B平分∠CBA，進而得出等式求出答案．

解答 解：（1）如圖所示：延長BA，過點C作CD⊥BA延長線與點D，
由題意可得：∠CBD=30°，BC=120海里，
則DC=60海里，
故cos30°=$\frac{DC}{AC}$=$\frac{60}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：AC=40$\sqrt{3}$，
答：點A到島礁C的距離為40$\sqrt{3}$海里；

（2）如圖所示：過點A′作A′N⊥BC于點N，
可得∠1=30°，∠BA′A=45°，
則∠2=15°，即A′B平分∠CBA，
設AA′=x，則A′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
故CA′=2A′N=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$x，
∵$\sqrt{3}$x+x=40$\sqrt{3}$，
∴解得：x=60-20（$\sqrt{3}$，
答：此時“中國海監(jiān)50”的航行距離為（60-20$\sqrt{3}$）海里．

點評 此題主要考查了解直角三角形的應用，熟練應用銳角三角函數(shù)關系是解題關鍵．