Question

6．已知二次函數(shù)y=ax²-2ax+c（a＜0）的最大值為4，且拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$），點(diǎn)P（t，0）是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求|PC-PD|的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)Q（0，2t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若線(xiàn)段PQ與函數(shù)y=a|x|²-2a|x|+c的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值．

Answer 1

分析 （1）先利用對(duì)稱(chēng)軸公式x=-$\frac{2a}$計(jì)算對(duì)稱(chēng)軸，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再將兩點(diǎn)代入列二元一次方程組求出解析式；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：可知P、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PC-PD|取得最大值，求出直線(xiàn)CD與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先把函數(shù)中的絕對(duì)值化去，可知y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$，此函數(shù)是兩個(gè)二次函數(shù)的一部分，分三種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，兩圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)，寫(xiě)出t的取值；②線(xiàn)段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|²-2a|x|+c（x≥0）時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求t的值；③當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)（-3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（-3，0）重合時(shí)，線(xiàn)段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|²-2a|x|+c（x＜0）時(shí)也有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)t≤-3時(shí)，都滿(mǎn)足條件；綜合以上結(jié)論，得出t的取值．

解答 解：（1）∵y=ax²-2ax+c的對(duì)稱(chēng)軸為：x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴拋物線(xiàn)過(guò)（1，4）和（$\frac{7}{2}$，-$\frac{9}{4}$）兩點(diǎn)，
代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-2a+c=4}\\{\frac{49}{4}a-7a+c=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，c=3，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；
（2）∵C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）、（1，4）；
由三角形兩邊之差小于第三邊可知：
|PC-PD|≤|CD|，
∴P、C、D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)|PC-PD|取得最大值，此時(shí)最大值為，
|CD|=$\sqrt{2}$，
由于CD所在的直線(xiàn)解析式為y=x+3，
將P（t，0）代入得t=-3，
∴此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P為（-3，0）；
（3）y=a|x|²-2a|x|+c的解析式可化為：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$，
設(shè)線(xiàn)段PQ所在的直線(xiàn)解析式為y=kx+b，將P（t，0），Q（0，2t）代入得：
線(xiàn)段PQ所在的直線(xiàn)解析式：y=-2x+2t，
∴①當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)（0，3），即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，線(xiàn)段PQ與函數(shù)
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)（3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（3，0）重合時(shí)，t=3，此時(shí)線(xiàn)段PQ與
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)$\frac{3}{2}$≤t＜3時(shí)，
線(xiàn)段PQ與y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$有一個(gè)公共點(diǎn)，
②將y=-2x+2t代入y=-x²+2x+3（x≥0）得：
-x²+2x+3=-2x+2t，
-x²+4x+3-2t=0，
令△=16-4（-1）（3-2t）=0，
t=$\frac{7}{2}$＞0，
所以當(dāng)t=$\frac{7}{2}$時(shí)，線(xiàn)段PQ與y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$也有一個(gè)公共點(diǎn)，
③當(dāng)線(xiàn)段PQ過(guò)點(diǎn)（-3，0），即點(diǎn)P與點(diǎn)（-3，0）重合時(shí)，線(xiàn)段PQ只與
y=-x²-2x+3（x＜0）有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=-3，
所以當(dāng)t≤-3時(shí)，線(xiàn)段PQ與y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3（x＜0）}\end{array}\right.$也有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述，t的取值是$\frac{3}{2}$≤t＜3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先利用待定系數(shù)法求解析式，同時(shí)把最大值與三角形的三邊關(guān)系聯(lián)系在一起；同時(shí)對(duì)于二次函數(shù)利用動(dòng)點(diǎn)求取值問(wèn)題，從特殊點(diǎn)入手，把函數(shù)分成幾部分考慮，按自變量從大到小的順序或從小到大的順序求解．