Question

4．已知如圖，直線${l_1}：{y_1}=-\frac{3}{4}x+m$與y軸交于A（0，6），直線l₂：y₂=kx+1分別與x軸交于點(diǎn)B（-2，0），與y軸交于點(diǎn)C．兩條直線相交于點(diǎn)D，連接AB．求：
（1）直線l₁、l₂的解析式；
（2）求△ABD的面積；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得${S_{△ABP}}=\frac{4}{3}{S_{△ABD}}$？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把點(diǎn)A（0，6）代入l₁解析式中，求出m的值；把點(diǎn)B（-2，0）代入直線l₂，求出k的值即可；
（2）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)S_△ABD=S_△ACB+S_△ACB求出答案；
（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左邊和右邊兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形面積公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線${l_1}：{y_1}=-\frac{3}{4}x+m$與y軸交于A（0，6），
∴m=6，
∴y₁=-$\frac{3}{4}$x+6，
∵y₂=kx+1分別與x軸交于點(diǎn)B（-2，0），
∴-2k+1=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴y₂=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）令y₂=$\frac{1}{2}$x+1中x=0，求出y=1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+6}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得x=4，y=3，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3），
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BO=$\frac{1}{2}$×（6-1）×2=5，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
∴S_△ABD=S_△ACB+S_△ACB=5+10=15；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），
當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，
BP=m+2，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AO=$\frac{1}{2}$×（m+2）×6=$\frac{4}{3}$×15，
解得m=$\frac{14}{3}$，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{14}{3}$，0），
當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，
BP=-2-m，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AO=$\frac{1}{2}$×（-2-m）×6=$\frac{4}{3}$×15，
解得m=-$\frac{26}{3}$，
則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-$\frac{26}{3}$，0），
綜上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{14}{3}$，0）或（-$\frac{26}{3}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了一次函數(shù)綜合題的知識，此題涉及到求一次函數(shù)解析式、兩直線交點(diǎn)問題，三角形的面積等知識，解答本題（2）關(guān)鍵是求出D點(diǎn)坐標(biāo)，解答（3）問關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，此題難度一般．