Question

13．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過頂點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G．
（1）求證：BG=DE；
（2）若點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，求$\frac{HG}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于BF⊥DE，所以∠GFD=90°，從而可知∠CBG=∠CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE，從而可知BG=DE；
（2）設(shè)CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=$\sqrt{5}$，由易證△ABH∽△CGH，所以$\frac{BH}{HG}=2$，從而可求出HG的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出$\frac{HG}{GF}$的值．

解答 解：（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}\\{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE，

（2）設(shè)CG=1，
∵G為CD的中點(diǎn)，
∴GD=CG=1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE=1，
∴由勾股定理可知：DE=BG=$\sqrt{5}$，
∵sin∠CDE=$\frac{CE}{DE}$=$\frac{GF}{GD}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴$\frac{AB}{CG}=\frac{BH}{GH}$=$\frac{2}{1}$，
∴BH=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，GH=$\frac{1}{3}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{HG}{GF}$=$\frac{5}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合程度較高，屬于中等題型．