Question

19．E，F(xiàn)是△ABC的邊AB所在直線上的點(diǎn)，AE=BF，F(xiàn)H∥EG∥AC，F(xiàn)H，EG分別交BC所在的直線于H，G．
（1）如圖1，若E，F(xiàn)在線段AB上，求證：EG+FH=AC；
（2）若E在線段BA的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)在線段AB的延長(zhǎng)線上，試猜想線段EG，F(xiàn)H，AC之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形并證明．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)FH∥EG∥AC，可得△BFH∽△BEG∽△BAC，所以$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，據(jù)此判斷出$\frac{BF+BE}{FH+EG}=\frac{BA}{AC}$；然后根據(jù)AE=BF，判斷出EG+FH=AC即可．
（2）猜想線段EG，F(xiàn)H，AC之間的數(shù)量關(guān)系為：FH+AC=EG．首先根據(jù)FH∥EG∥AC，可得△BFH∽△BEG∽△BAC，所以$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，據(jù)此判斷出$\frac{BF+BA}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$；然后根據(jù)AE=BF，判斷出FH+AC=EG即可．

解答 （1）證明：如圖1，
，
∵FH∥EG∥AC，
∴△BFH∽△BEG∽△BAC，
∴$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，
∴$\frac{BF+BE}{FH+EG}=\frac{BA}{AC}$，
又∵AE=BF，
∴$\frac{AE+BE}{EG+FH}=\frac{AB}{AC}$，
又∵AE+BE=AB，
∴$\frac{AB}{EG+FH}=\frac{AB}{AC}$，
∴EG+FH=AC．

（2）猜想線段EG，F(xiàn)H，AC之間的數(shù)量關(guān)系為：FH+AC=EG．
證明：如圖2，過點(diǎn)A作AP∥BC交EG于P，

∵FH∥EG∥AC，
∴△BFH∽△BEG∽△BAC，
∴$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，
∴$\frac{BF+BA}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$，
又∵AE=BF，
∴$\frac{AE+AB}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$，
又∵AE+AB=BE，
∴$\frac{BE}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$，
∴FH+AC=EG．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行線分線段成比例問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．