Question

4．已知二次函數(shù)y=x²-2mx-2m²（m≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，它的頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓上．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)以AB為直徑的圓與y軸交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的長(zhǎng)度，也就是圓的直徑，根據(jù)頂點(diǎn)公式求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)得到圓的半徑，然后根據(jù)直徑是半徑的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函數(shù)解析式便不難求出函數(shù)解析式；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，根據(jù)（1）中的結(jié)論，求出圓的半徑，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦長(zhǎng)，弦CD的長(zhǎng)等于半弦的2倍，S_{四邊形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD．

解答 解：（1）設(shè)AB點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，0），B（x₂，0），
則x₁+x₂=-$\frac{a}$=2m，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=-2m²，
∴AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{3}$|m|，
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，-3m²），且在以AB為直徑的圓上，
∴AB=2×3m²，
∴2$\sqrt{3}$|m|=6m²，
∴m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴y=x²±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2}{3}$；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，圓的半徑為$\frac{1}{2}$×6m²=$\frac{1}{2}$×2=1，
弦CD的弦心距為|m|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$AO•CD+$\frac{1}{2}$OB•CD=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的半徑，弦心距，半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大仔細(xì)分析求解便不難解決．