Question

16．已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作O的切線，交弦AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連按AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：CG是⊙O的切線；
（2）若FB=FE=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC、OF、BC，證△OCF≌△OBF即可；
（2）根據(jù)FE=FB=FC可推出△FAG是等腰三角形，進(jìn)而BG就等于直徑；根F是DB中點(diǎn)可得OF∥AC，由平行線分線段成比例可算出FG，再由勾股定理算出BG即可．

解答 解：（1）如圖，

∵AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的切線，
∴AB⊥BD，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴$\frac{CE}{DF}=\frac{AE}{AF}=\frac{EH}{BF}$，
∵CE=EH，
∴DF=BF，
連接BC，則BC⊥AD，
∴CF=BF=DF，
連接OC、OF，
在△OCF和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{OF=OF}\\{FC=FB}\end{array}\right.$
∴△OCF≌△OBF（SSS），
∴∠OCF=∠OBF=90°，
∴CG是⊙O的切線；
（2）∵FE=FB=6，
∴FC=FE=6，
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠FCE+∠G=∠FEC+∠FAB=90°，
∴∠FAB=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=BG，
∵AO=OB，
∴OF∥AC，
∴$\frac{GF}{FC}=\frac{GO}{OA}=3$，
∴FG=3FC=18，
∴BG=12$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BG=6\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的判定、圓周角的性質(zhì)、平行線分線段成比例、直角三角形斜邊中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等眾多知識(shí)點(diǎn)，有一定難度．熟悉圓的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．