Question

6．定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1-m，-1]的函數(shù)的一些結(jié)論：
①當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）；
②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于1；
③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，y隨x的增大而減��；
④不論m取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 ①把m=-1代入[m，1-m，-1]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式解答即可；
②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式解決問題；
③首先求得對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
④根據(jù)特征數(shù)的特點(diǎn)，直接得出x的值，進(jìn)一步驗(yàn)證即可解答．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[m，1-m，-1]；
①當(dāng)m=-1時(shí)，y=-x²+2x-1=-（x-1）²，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）；此結(jié)論正確；
②當(dāng)m＞0時(shí)，令y=0，有mx²+（1-m）x-1=0，解得x=$\frac{（m-1）±（m+1）}{2m}$，x₁=1，x₂=-$\frac{1}{m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{1}{m}$+1＞1，所以當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于1，此結(jié)論正確；
③當(dāng)m＜0時(shí)，y=mx²+（1-m）x-1 是一個(gè)開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸是：x=$\frac{m-1}{2m}$，在對(duì)稱軸的右邊y隨x的增大而減小．因?yàn)楫?dāng)m＜0時(shí)，$\frac{m-1}{2m}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{m}$＞$\frac{1}{2}$，即對(duì)稱軸在x=$\frac{1}{2}$右邊，因此函數(shù)在x=$\frac{1}{2}$右邊先遞增到對(duì)稱軸位置，再遞減，此結(jié)論錯(cuò)誤；
④當(dāng)x=1，m≠0時(shí)，y=mx²+（1-m）x-1=m+（1-m）-1=0 即對(duì)任意m，函數(shù)圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）那么同樣的：當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)（0，-1），故不論m取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，此結(jié)論正確．
根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯(cuò)誤的．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．